Zmn0121 薛問天：再談林益先生的五個問題Zmn-0121 薛問天：再談林益先生的五個問題 【編者按。下面是薛問天先生發來的文章，針對《Zmn-0116，

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0117》，再談林益先生的五個問題。現在發布如下，供網友們共享。請大家關注並積極評論。另外本《專欄》重申，這裡純屬學術討論，所有發布的各種意見僅代表作者本人，不代表本《專欄》編輯部的意見。】 再談林益先生的五個問題 薛問天xuewentian2006@sina.cn 讀了《Zmn-0116 和 0117》林益先生的回復。再談談這五個問題。(一)我舉的例子是針對林益所說的 【 排序必須及物，

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無物為空，為空則無元素，無元素何來有序？】這句話的。我想說的意思是，0雖然是【空】，是【無物】，但是，當我們把0看作是對象的某個屬性的值時，並不是說具有該屬性為0的值的對象本身就是【空】的。例如孩子沒有搶到球，他手中的球是空的。孩子還是存在的。 正如林益先生所問【 難道沒搶到球的同學趙是 0 就不存在嗎？】顯然【同學趙】是存在的，孩子本身並不是【無物為空】。只是【手中搶到的球】這個屬性的值為0而已。所以孩子還是可以按此屬性來排序的。【何來有序？】這就是【序的來由】。序數就是衡量集合(良序集合)的序型的。把0添加在序數中，就為序數的應用提供了更大的應用範圍和空間。王尚志教教的文章，說了那麼多把0添加到自然數中的【好處】，林益先生也都列舉出來，表示認可了。為什麼還要說【 只感到一頭霧水】呢？既然知道【 “0”加盟到自然數集合中，只有好處沒有壞處，為什麼我們不應該歡迎“0”作為自然數集合的一個成員呢?】為什麼還要說【 不能從王尚志教授的文章中得到任何把“0”作為一個自然數的必然理由。】林益先生的這些言論反倒使我【 只感到一頭霧水】不好理解。不知林益先生在質疑什麼？林益先生舉了一個0不能算作【倍數】的例子。這其實就是一個規定。只要規定【倍數】就是指【非0的倍數】，問題就迎刃而解解了，並沒有太多的困難。林先生說【 把“0” 作為一個自然數，把搞數論的人害苦啦，把小學老師害苦啦，更把頭腦未發育完全的小學生害苦啦。】是誇大其詞了，我看並沒有那麼嚴重。這要比起把0從自然數中剔除所帶來的麻煩。那簡直不可同日而語。請問如果沒有0，你在算式中該如何表達10，100，以及105這些自然數，又該如何對其進行算術運算。不敢想像，可能要【大動幹戈】，簡直是【寸步難行】吧！絕不是作個規定那麼簡單。孰輕孰重，孰難孰易，顯而易見。林益先生說【 家有三個兄弟，排序老大、老二、老三、沒有老零。】是的。這是在把0引入序數以前養成的習慣用語。就是引入了0以後也沒必要改變。因為已經【 約定成俗】了。但是以0號開頭而不是以1號開頭的排序方法正在應用中開始興起。這也是不爭的事實。例如最近疫情，把首例得新冠病毒的病人稱為【0號病人】就是一例。剛好我查了一下《數學啄木鳥專欄》的首頁也是《Zmn-000》，而不是001打頭。這種例子是【舉不勝舉】。其實這不是關鍵。王尚志教授說了【 沒有零的自然數集合與包括零的自然數集合“同構”。】0號打頭與1號打頭，在平常生活中都是允許的。只要在數學的嚴格的論證中，記著序數是以0開始的，就行了。沒有必要為此爭論不休。 (二)林先生說【 有次序就表明有前後，不能顛倒，既然不能顛倒，次序表明是對元素之間關系的一種制約，即一種限制，表明前面的元素受後面元素的制約、限制，…。】林益先生所用的詞，諸如【次序】，【前後】，【不能顛倒】，以及 【大小】等概念，只是對序數間的那個【良序關系】的一個形象的直觀的描述。實際上在數學上己經把【序】的概念研究得相當清楚了。【序】是一種【關系】。序數間的【序】就是一種【良序關系】。這種關系自然【 是對元素之間關系的一種制約，即一種限制】。它並不僅僅是【 前面的元素受後面元素的制約、限制，

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】同時也是【 後面的元素受前面元素的制約、限制，】實際上它是兩個元素之間受其具有的【良序關系】的制約和限制。正是這種序關系決定了林益先生所講的【次序】、【前後】和【大小】。前面序數的值肯定小于後面序數的值，後面序數的值肯定大于前面序數的值。 如果林益先生說的【制約和限制】指的就是其良序關系的制約和限制，那麼既然序數有良序關系，良序是全序，任何兩個序數間都受到這種【良序關系】的制約和限制。這是不需要作任何論證就可得出的結論。關于序數，僅僅談到它的序關系，火候還不夠，還沒有說透，還需繼續分析。 序數有一個非常重要的性質。【任何序數，都是比它小的所有序數的集合。】例如:1={0}，2={0錛1}，3={0錛1錛2}，……，ω={0錛1錛2錛…} ，ω+1={0錛1錛2錛…錛ω}，ω+2={01錛2錛…錛ω錛ω+1}，……而這些集合的序型是各不相同的。可以證明任何良序集，都存在一個唯一確定的序數，同它具有相同的序型。序數的序關系也就同時表達了這些序型間的序關系。據此，在良序集的序型間就有了【序】關系，即林先生所說的【次序、前後和大小】。序數成為表達良序集序型的數系，

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這才是康託爾引入序數的目的，和序數存在的價值所在。 (三)在《實變函數論》中自然找不到【序數】，但是在任何一本《集合論》的書中都會有【序數】的介紹。序數和基數是康託爾的偉大貢獻。我們那敢貪天之功。我們只是學習和理解，再學習和再理解。只要沒理解錯就是萬幸。我認為康託爾引入的【是“ω”，為什麼不用其他符號？】這點並不重要。如果當時用的是α或β，現在流行的就不是ω而是α或β了。 這並無本質區別，只是個記號而已。而【 為什麼要引入“ω”這個超窮序數？】這個問題才是最重要的。為什麼要引入超窮序數，是為了表示無窮良序集的序型。我們知道，ω是全體有窮序數集合的並集(即全體自然數的集合)。我們來考查一些無窮序列構成的良序集，例如:A0={a1錛a2錛a3錛……}，B0={b1錛b2錛b3錛……}……等，其中元素的序關系定義為若n≦m，則an≦am，bn≦bm。顯然，它們都可以同ω建立保序的一一對應。于是ω可以作為這些良序集A0錛B0…等的【序型】。這就是ω作為超窮序數引入的緣由。這些道理我在《0113》中已經講過。不知林益先生為何還在提【 為什麼要引入“ω”？】的問題。引入ω是為了表示(刻畫，衡量)這部分良序集的【序型】。（這是我的理解。我沒有查到康託爾本人對此的解釋。）可是請注意，對于如下的良序集，如:A1={a1錛a2錛a3錛……錛c1}，B1={b1錛b2錛b3錛……錛c1}……等， 其中元素的序關系定義為: 若n≦m，則an≦am，bn≦bm。並且對所有n都有an≦c1，bn≦c1。仔細查看，

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這些良序集卻不能同ω建立保序的一一對應。但是它們可以同集合ω+1= {0錛1錛2錛……錛ω} 建立保序的一一對應。于是ω+1可以作為這些良序集A1錛B1的【序型】。餘此類推，就不僅有ω這個序數，還有了ω+1錛ω+2錛…等序數。以及後續的各序數。當然我們最終可以證明任何良序集都有唯一確定的一個序數，此序數同此良序集具有同一的序型。這就保證了序數作為表示良序渠序型的功能。至于林益先生的另外三問。(1)【 為什麼就能說“ω”大于任何自然數？】因為我們在序數間定義了一個良序關系"≦"，按照該序的定義，所有的自然數(即有窮序數)n，都有序關系n≦ω，而已知n≠ω，所以nω。當然你可以直觀形象地把此序數間的【序關系】稱為【ω大于自然數n】。(2)【自然數有界嗎？】自然數在自然數系中沒有界，即不存在一個自然數K，使所有的自然數n，都有n≦K。但是在序數數系中，自然數是有界的。即存在著序數，例如ω，使所有的自然數(有窮序數)n，都有n≦ω。做個比喻，這就叫【山外有山，天外有天。】(3)【有最大自然數嗎？】當然沒有。盡管n≦ω，但是ω不是自然數。 (四)林先生問【 “ω”是超窮數，“超窮”與“無窮”區別是什麼？】我希望林先生不必在在這些名稱的字面含義上過分糾結 。它只不過是個名稱而已，應該說叫個什麼名字都是可以的，並不重要。我們對數學概念的理解不是依賴它的名字，靠的是概念的定義。也就是我們關心的問題應是【是什麼】，而不是【叫什麼】。林問【 那來的左一個“無窮”序數，右一個“無窮”序數，沒完沒了的都是“無窮”序數，】為什麼要有這麼多【“無窮”序數】? 這就是客觀事物的復雜性，因為實際上無窮的良序集很多，它們的序型也很多，每一個序型都有一個序數來表示，所以序數就會很多。其實無窮的良序集要比無窮的序數還要多。當然良序集只是無窮集的一種 ，不是良序集的無窮集就更多，更多 。用列到達一站又一站來比喻序數，有它形象的地方。例如序數有序關系，有前有後，中間一些特別的序數如ω ，ωxω，…比作中間的站點，一站接著一站。確實也很形象。但這畢竟是個比喻，有些無窮的性質是用有窮的東西比喻不出來的。例如每個車站都有前趨(即前一個車站)，但是有些序數沒有前趨。如ω，2ω，…等沒有前趨。也就是說你坐上列車，一站一站的過，有些車站你是乘坐列車永遠也達到不了(用後繼運算達不到)的。這也是我們說自然數是【有始無終】的道理。自然數沒有最大元，]有終點站。ω並不是自然數的終點站。ω是跨越了所有的自然數以後到達的站點。要到達ω站，坐列車已不行了，要採用非常手段跨越這中間的無窮個【有始無終】的自然數。我建議的辦法是換乘【思維神器】。我們用【思維神器】來做比喻是有道理的。因為人的思維能力是相當神奇的。人類受時空的限制，本無法處理【無窮對象】。但是通過【思維推理】就可以來認知【無窮對象】。只用了【所有的】三個字，就把【所有的自然數】這個【無窮集合】給搞定了，

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從而拿下了ω這個超窮序數。這樣乘坐【思維神器】就到達了ω車站。同樣通過【思維神器】可以認知其它序數，到達其它序數各站。林益先生問【 薛老師曾經開導我說：“無窮”是“有始無終”的。那麼能有這麼多“無窮序數站”點嗎？難道這就不違背同一律嗎？邏輯又怎麼解釋這麼多“無窮序數”呢】首先澄清一下，全體自然數(ω)的序型是【有始無終】的。但並不是所有的無窮序型都是【有始無終的】。最簡單的例子是ω+1={0錛1錛2錛…錛ω}，這個無窮良序集就有最大元(ω) ，因而是有終點的(注意是ω+1的最大元，而不是ω的最大元。)當然除ω以外，還有很多序數(所謂【極限序數】)是【有始無終的】。這在邏輯上有問題嗎?沒有任何矛盾嘛！有【 這麼多“無窮序數”】，所有序數都是【無窮的良序集】，其中有些是【有始無終】(無最大元)的集合，有些是【有始有終】(有最大元)的集合。矛盾何在? (五)林益先生說【 看不出「ω 有限制」同「ω 是有限的」的根本含義的區別，既然ω有限制還不是有限的，】關于「ω 有限制」我們前面分析了，含義清晰，它是指ω受到同其它序數之間的序關系的限制，即【ω必須M足序關系n＜ω＜ω+1。】關鍵是 「ω是有限的」是什麼意思。如果按林先生的說法，它同 「ω 有限制」沒有【根本含義的區別】，那就還是指【 ω必須M足序關系n＜ω＜ω+1】。那結論就應該是【 既然ω有限制，自然ω是有限的 。】可是林益先生的結論卻是【 既然ω有限制還不是有限的】。既認為【 ω不是有限的】。這就是說林益先生給【 ω是有限的 】賦予了同【ω是無窮序數】【ω是無窮集】是矛盾的含義。即實際上給【 ω是有限的 】賦予了【ω是有限序數】和【ω是有限集】的含義。顯然，從 「ω 有限制」即【 ω必須M足序關系n＜ω＜ω+1】，得不出 【ω是有限序數】和【ω是有限集】的結論來。林益先生說【 即使從【ωω+1】否定不了【對任何 n 有 nω】。確實否定不了，但是我也不能否定 ω 的有限性。】其實可以這麼講，如果你不把【 ω的有限性】同 【ω是有限序數】和【ω是有限集】劃上等號。沒有人反對你提出的【ω的有限性】。ω的序型小于ω+1的序型，同【ω是無窮序數】【ω是無窮集】沒有任何矛盾。中學數學教師是光榮的受人尊敬的【數學教育工作者】。你所遵循的務實的學風，也是學界普遍倡導的好的學風。我也年事己高，最後的一點心願就是想做點這樣的事，即利用我學到的知識，通過耐心的說理，來澄清社會上流傳的一些數學的錯誤理解和認識。做點有針對性的科普，發揮點餘熱。同網友們互相學習，共同提高。返回到： zmn-000文清慧：發揚啄木鳥精神-《數學啄木鳥專欄》開場白及目錄Zmn-0121 薛問天：再談林益先生的五個問題 2020-3-17 10:17Zmn-0120 薛問天：答黃汝廣先生問 2020-3-13 20:06Zmn-0119 黃汝廣：請教薛問天先生，我是否又犯了無窮的禁忌問題？ 2020-3-13 09:42Zmn-0118 薛問天：樊毅先生證明P與ω1等勢的願望落空了 2020-3-12 10:40Zmn-0117 林益：感謝薛問天老師的推薦 2020-3-11 10:28Zmn-0116 林益： 回復《答林益先生的五個問題》 2020-3-11 10:06Zmn-0115 樊毅：也評“小明的困惑”，澄清薛老師的誤解 2020-3-9 16:53[轉載]Zmn-0114 薛問天推薦文章，王尚志：為什麼要把“0”作為一個自然數？ 2020-3-9 10:30Zmn-0113 薛問天：答林益先生的五個問題 2020-3-7 20:08Zmn-0112 樊毅：更嚴謹的新集合論與連續統問題（四），終于可以繼續前行了 2020-3-6 10:03Zmn-0111 薛問天：《小明的困惑》是序數問題的一個「比喻」，評林益先生的《有感》 2020-3-5 10:13Zmn-0110 林益：讀《小明的困惑》有感 2020-3-4 18:39Zmn-0109 林益：請教薛老師幾個問題 2020-3-4 09:07Zmn-0108 李鴻儀： 集合的定義和羅素悖論：與薛問天先生的分歧（一） 2020-3-3 10:19Zmn-0107 【漫畫】薛問天：小明的困惑。 2020-3-2 13:43Zmn-0106 薛問天：談序數的【命名表達系統】，-評樊毅先生的文章。 2020-3-1 15:33Zmn-0105 樊毅：更嚴謹的新集合論與連續統問題（三），澄清薛問天老師的疑問 2020-2-26 19:36Zmn-0104 薛問天：【 m×n 的二維黑白圖像】表達不了ω1中的全部序數。-答樊毅先生的提問 。 2020-2-23 12:43Zmn-0103 樊毅：更嚴謹的新集合論與連續統問題（二），請薛問天老師對數學證明進行評點。 2020-2-22 12:52Zmn-0102 薛問天：談嚴格的「數學定義」-評李鴻先生的錯誤論點。 2020-2-20 11:26Zmn-0101 薛問天：談【有窮】和【無窮】的定義，兼答林益先生的提問。 2020-2-17 11:51Zmn-0100 樊毅：更嚴謹的新集合論與連續統問題（一） 2020-2-15 19:49Zmn-0099 林益: 讀《大象走進了瓷器店》有感 2020-2-15 19:14Zmn-0098 薛問天：再論有別于其它學科的【數學的邏輯縝密性】-評樊毅先生的回復。 2020-2-12 11:36Zmn-0097 李鴻儀：評薛先生的邏輯循環2020-2-9 09:16Zmn-0096 樊毅：也談數學推理的另類“縝密”性，

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且部分出現向地性缺陷表型，作者通過對PILS5OE株系進行EMS誘變，結果獲得了一個imp1突變體，該突變體不僅在黑暗條件下增強了PILS5OE株系的短下胚軸表型，同時在光照條件下，明顯減少了根的伸長。進一步的精細定位和NGS測序分析顯示imp1突變是一個BR受體基因BRI1上644號位的甘氨酸（GGT）突變為了絲氨酸（GAT）。）HighlightsImpaired BR perception enhances PILS5 overexpression phenotypesBR感知缺陷能夠增強PILS5過表達的表型BR signaling increases PILS protein turnoverBR信號增加PILS蛋白週轉BR signaling defines PILS-dependent nuclear abundance and signaling of auxinBR信號作用于PILS依賴型的核生長素富集與信號PILS-dependent BR-auxin crosstalk affects organ growthPILS依賴型的BR-生長素交聯能夠影響植物器官的生長通訊：J□rgen Kleine-Vehn (https://boku.ac.at/personen/person/0C9D8AC9D487C1BC)研究方向：植物生長素依賴性的生長調控。doi: https://doi.org/10.1016/j.cub.2020.02.002Journal: Current BiologyPublished date: March 12錛 2020，